Permodelan Matematis Teorema Kendali

Tulisan ini dimuat di : http://www.qureta.com/post/permodelan-matematis-teorema-kendali

Permodelan sistem harus memerhatikan karakteristik dinamiknya. Model matematis sistem dinamik dapat didefinisikan dengan berbagai bentuk persamaan bergantung kondisi partikuler sistem. Banyak sistem dinamik dapat dijelaskan dalam bentuk persamaan diferensial dari hukum-hukum fisik yang bekerja pada sistem. Pada prinsipnya, kausalitas menyebabkan keluaran sistem saat ini (t=0) bergantung pada input masa lalu (t<0 bukan="" input="" mendatang="" t=""><0 0="">
Tentunya kita menginginkan permodelan yang lebih akurat, tapi seringkali, model yang lebih akurat memunculkan persamaan yang sangat rumit sehingga kita tidak dapat memahami atau merasakan kerja fisik sistem secara sederhana. Karena itu, permodelan dengan sistem linier yang lebih sederhana dapat dilakukan untuk mendapatkan feeling kerja sistem sebelum menggunakan persamaan yang lebih lengkap untuk akurasi lebih baik.
Sistem Linier
Suatu sistem dikatakan linier jika prinsip superposisi berlaku. Prinsip superposisi menyatakan bahwa respon yang dihasilkan oleh penerapan dua fungsi gaya yang berbeda secara simultan merupakan penjumlahan dua respon yang terpisah. Sehingga sistem yang kompleks dapat dipecahkan dengan penjumlahan setiap solusi tunggal dari bagian-bagian yang lebih sederhana dari sistem.
Variasi terhadap Waktu
Persamaan diferensial dikatakan linier jika koefisien-koefisiennya merupakan konstanta atau fungsinya hanya mengandung variabel bebas. Sistem dinamik yang mengandung komponen parameter yang tidak berubah terhadap waktu dapat dikatakan sebagai persamaan diferensial koefisien konstan atau sistem linier invarian waktu. Sementara jika komponen tersebut bervariasi terhadap waktu, disebut sebagai sistem linier varian waktu.
Fungsi Transfer
Dalam teori kendali, fungsi transfer umumnya digunakan untuk menjelaskan hubungan masukan-keluaran sistem denga persamaan diferensial linier invarian waktu. Persamaan tersebut dinyatakan sebagai perbandingan antara transformasi Laplace keluaran (fungsi respon) dengan transformasi Laplace masukan (fungsi pengubah) dengan asumsi semua kondisi awal bernilai nol. Anggaplah sistem persamaan diferensial linier invarian waktu didefinisikan sebagai berikut.

Pada persamaan tersebut, y merupakan keluaran sistem sementara x merupakan masukan. Dengan demikian, fungsi transfer sistem dapat dinyatakan sebagai berikut.

Dengan menerapkan konsep fungsi transfer, dimungkinkan untuk mewakilkan sistem dinamik dengan persamaan aljabar berbentuk s. Jika pangkat terbesar pada penyebut fungsi transfer sebesar n, maka sistem disebut sebagai sistem orde n.
Integral Konvolusi
Persamaan tersebut juga dapat ditulis sebagai berikut.

Perkalian dari domain kompleks ekivalen dengan konvolusi dalam domain waktu sehingga bentuk tersebut dapat ditulis sebagai berikut.

Dengan asumsi kondisi inisial sama dengan nol, mka g(t) dan x(t) nol saat t<0 .="" p="">Sejumlah Catatan dalam Fungsi Transfer
Fungsi transfer suatu sistem merupakan model matematik yang merupakan metode operasional yang mengungkapkan persamaan diferensial yang menghubungkan variabel keluaran dengan variabel masukan. Fungsi ini merupakan properti sistem itu sendiri sehingga tidak bergantung kepada besar dan sifat fungsi input atau pengontrol.
Meskipun fungsi transfer mencakup semua unit yang menghubungkan masukan dengan keluaran sistem, fungsi ini tidak menyediakan informasi apapun mengenai struktur fisik sistem. Dengan kata lain, fungsi transfer dari sistem-sistem yang secara fisik berbeda, dapat berbentuk identik. Jika fungsi transfer dari suatu sistem diketahui, keluaran atau responnya dapat diselidiki untuk berbagai bentuk input dalam rangka memahami sifat sistem.
Jika fungsi transfer suatu sistem tidak diketahui, fungsi tersebut dapat ditemukan secara eksperimen dengan memberikan input yang sudah diketahui dan menyelidiki keluaran sistem. Saat sudah diketahui, fungsi transfer memberikan diskripsi lengkap mengenai karakteristik dinamik sistem, terpisah dari deskripsi fisiknya.
Fungsi Respon Impuls
Anggaplah keluaran sistem linier invarian waktu terhadap suatu unit masukan impuls ketika semua kondisi awal nol. Lantaran transformasi Laplace dari fungsi unit impuls sama dengan satu, maka transformasi Laplace keluaran sistem sebagai berikut.

Respon dari sistem impuls tersebut kemudian dapat ditentukan dari invers transformasi Laplace keluaran yang didefinisikan di atas.

Fungsi g(t) tersebut merupakan fungsi respon impuls juga disebut fungsi pembebanan sistem yang merupakan respon sistem linier invarian waktu saat semua kondisi awal bernilai nol. Dengan transformasi Laplace fungsi tersebut memberikan fungsi transfernya, maka fungsi transfer dan fungsi respon impuls dari suatu sistem linier invarian waktu, memuat innformasi yang sama mengenai sistem dinamik yang bersangkutan.
Dengan demikian, dapat dimungkinkan untuk memperoleh informasi lengkap mengenai karakteristik dinamik sistem dengan mengenakan input berupa impuls dan mengukur respon yang diberikan sistem. Demi kepraktisan, input dengan durasi yang jauh lebih singkat dari konstanta waktu signifikan telah dapat dianggap sebagai bentuk impuls.
Matematika Diagram Sistem Kendali Otomatis
Sistem kendali dapat terdiri dari sejumlah komponen. Untuk mewakili setiap komponen, dapat digunakan diagram yang disebut diagram blok. Sebuah diagram blok merupakan representasi fungsi suatu komponen dan alur sinyal yang terjadi. Diagram itu dapat menunjukkan hubungan yang ada antara banyak komponen. Selain itu, diagram blok juga dapat membuat gambaran sistem kendali yang lebih realistik daripada melalui persamaan matematis.
Dalam diagram blok, semua variabel sistem dihubungkan satu sama lain melalui blok fungsional atau dikenal sebagai blok saja. Blok merupakan suatu simbol operasi matematika terhadap sinyal input pada blok yang menghasilkan sinyal keluaran. Fungsi transfer komponen biasanya ditulis pada blok tersebut dengan tanda panah sesuai arus sinyal. Dengan demikian, diagram blok secara eksplisit menunjukkan properti unilateral.

Dimensi sinyal keluaran dari blok merupakan dimensi sinyal input dikalikan dengan dimensi fungsi transfer dari blok. Penggunaan sejumlah blok tunggal untuk membentuk keseluruhan sistem dapat memberikan keuntungan dalam evaluasi kontribusi setiap komponen dalam keseluruhan kinerja sistem. Dengan begitu, arus sinyal juga dapat diatur agar mengalami penjumlahan, pengurangan, atau percabangan.
Diagram Blok Sistem Lup Tertutup

Gambar di atas menunjukkan contoh diagram blok sistem lup tertutup. Keluaran C diumpanbalikkan ke titik penjumlahan tempat dilakukan komparasi terhadap masukan. Keluaran C diperoleh dengan pengalian fungsi transfer G terhadap masukan blok E. setiap sistem kontrol linier dapat diwakili oleh diagram blok yang meliputi sejumlah blok, titik sumasi, dan titik cabang seperti itu.
Ketika keluaran diumpanbalikkan ke titik penjumlahan untuk dibandingkan dengan input, perlu dilakukan konversi bentuk sinyal keluaran ke bentuk sinyal masukan. Sebagai contoh, pada sistem kendali temperatur, sinyal keluaran biasanya berupa temperatur tertentu. Sinyal keluaran yang berdimensi suhu harus dikonversi ke dalam gaya, posisi, atau voltase agar dapat dibandingkan dengan sinyal masukan.

Konversi dilakukan oleh elemen umpan balik yang memiliki fungsi transfer H. Elemen umpan balik memiliki peran untuk memodifikasi keluaran sebelum dibandingkan dengan masukan. Pada banyak kasus, elemen umpan balik merupakan suatu sensor yang mengukur keluaran sistem. Hasil bacaan sensor tersebut dibandingkan dengan input sistem lalu eror yang terjadi ditampilkan. Pada contoh ini, sinyal umpan balik memiliki fungsi B = H C.
Fungsi Transfer Lup Terbuka dan Fungsi Transfer Umpan Maju
Perbandingan antara sinyal umpan balik B dengan eror yang terjadi E dinamakan fungsi transfer lup terbuka.

Perbandingan antara keluaran C dengan eror yang terjadi E dinamakan fungsi transfer umpan maju.

Jika fungsi transfer umpan balik bernilai satu, maka fungsi transfer lup terbuka sama dengan fungsi transfer umpan maju.
Fungsi Transfer Lup Tertutup

Untuk sistem yang ditunjukkan pada gambar di atas, hubungan keluaran C dengan masukan R sebagai berikut.

Dengan membuang E dari persamaan tersebut.

Fungsi transfer yang menghubungkan C dengan R disebut sebagai fungsi transfer lup tertutup. Fungsi ini menghubungkan dinamika sistem lup tertutup dengan dinamika elemen umpan balik dan umpan maju. Dengan demikian, keluaran sistem tertutup bergantung pada fungsi transfer sistem lup tertutup dan karakteristik input.

Fungsi-fungsi sistem dapat disimulasikan dalam perangkat lunak seperti Matlab dengan melakukan definisi fungsi transfer dari suatu elemen sistem dalam bentuk perbandingan pembilang dengan penyebut (numerator dan denumerator). Contohnya dapat ditampilkan sebagai berikut.